\documentclass[french,a4paper]{article}

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\title{Mathématiques MPSI ~ -- ~ Plan}
\author{Louis Alvin}
\date{\today}



\begin{document}

\twocolumn
\maketitle



\paragraph{Chap 1A : Logique et raisonnement}

\begin{enumerate}
\item Logique élémentaire
\item Les différents types de raisonnement
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 1B : Ensemble, application et relation}

\begin{enumerate}
\item Ensemble
\item Les applications
\item Relation binaire
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 2 : Calcul algébrique}

\begin{enumerate}
\item Somme
\item Factorisation de \(a^{n} - b^{n}\) et dénombrement
\item Produit
\item Système linéaire d'équations
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 3 : Les nombres complexes}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Trigonométrie
\item Trinôme
\item Racine \(n\)-ième d'un complexe
\item Autres propriétés
\item Interprétation géométrique et complexe
\item L'exponentiel complexe
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 4 : Les fonctions numériques}

\begin{enumerate}
\item L'ensemble \(\mathbb{R}\)
\item Fonctions à variables réelles
\item Les fonctions usuelles
\item Le calcul d'intégrale
\item Les équations différentielles
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 5 : L'ensemble \(\mathbb{R}\)}

\begin{enumerate}
\item Les insuffisances de \(\mathbb{Q}\)
\item Propriétés de \(\mathbb{N}\)
\item Propriétés de \(\mathbb{R}\)
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 6 : Les suites}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Limite d'une suite
\item Les théorèmes importants
\item Suites particulières
\item Les suites du type \( \left\lbrace \begin{array}{l} u_{n_{0}} \text{donné} \\
\forall n \geq n_{0}, ~ u_{n+1} = f(u_{n}) \end{array} \right. \)
\item Autres propriétés
\item Suites à valeurs dans \(\mathbb{C}\)
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 7 : Relation de domination, de négligeabilité, d'équivalence}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Relation de domination
\item Relation de négligeabilité
\item La relation d'équivalence pour les suites
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 8 : Limite et continuité}

\begin{enumerate}
\item Limite
\item Opérations sur les limites
\item Théorèmes d'inégalités
\item Caractérisation séquentielle de la limite
\item Limite à droite et à gauche
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 9 : Dérivabilité}

\begin{enumerate}
\item Dérivabilité en un point
\item Dérivabilité sur un intervalle
\item Dérivées d'ordre \(n\)
\item Fonctions à valeurs complexes
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 10 : Analyse asymptotique}

\begin{enumerate}
\item Relations de comparaison
\item Approximation par la tangente
\item La formule de Taylor-Young
\item Développement limité
\item Développement asymptotique
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 11 : Les groupes}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Les sous-groupes
\item La structure d'anneau
\item Structure de corps
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 12 : Arithmétique}

\begin{enumerate}
\item Divisibilité et division Euclidienne
\item PGCD et PPCM
\item Entiers premiers entre eux
\item PGCD de \(n\) entiers
\item Les nombres premiers
\item Congruence
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 13 : Polynômes formels à une indéterminée}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Diviseur, multiple et division Euclidienne
\item Racine d'un polynôme
\item Dérivation formelle
\item Relations entre coefficients et racines
\item Les polynômes de Lagrange
\item Arithmétique des polynômes
\item Décomposition d'un polynôme en facteurs irréductibles
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 14 : Le corps des fractions rationnelles}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Représentants irréductibles d'une fraction
\item Degré d'une fraction
\item Partie entière d'une fraction, pôle et racine
\item Décomposition en éléments simples
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 15 : Les espaces vectoriels}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Famille génératrice, libre, base
\item Les applications linéaires
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 16 : Espaces vectoriels en dimension finie}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Exemples fondamentaux
\item Sous-espace vectoriel
\item Famille libre, génératrice, base
\item Dimension et somme vectorielle
\item Applications linéaires
\item Applications linéaires en rang fini
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 17 : Calcul matriciel}

\begin{enumerate}
\item Espaces de matrices
\item L'anneau des matrices carrées \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\)
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 18 : Matrices et applications linéaires}

\begin{enumerate}
\item Matrices et applications linéaires
\item Changement de base, équivalence et similitude
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 19 : Opérations élémentaires et systèmes linéaires}

\begin{enumerate}
\item Opérations élémentaires sur les matrices
\item Systèmes linéaires
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 20 : Groupe symétrique}

\begin{enumerate}
\item Le groupe symétrique
\item Décomposition d'une permutation
\item Signature d'une permutation
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 21 : Déterminant}

\begin{enumerate}
\item Formes multilinéaires
\item Déterminant d'une famille de \(n\) vecteurs dans une base
\item Déterminant d'un endomorphisme
\item Déterminant d'une matrice carrée
\item Calculs de déterminants
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 22 : Ensembles finis et dénombrement}

\begin{enumerate}
\item Ensembles finis
\item Dénombrement
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 23 : Probabilités sur un univers fini}

\begin{enumerate}
\item Expériences aléatoires et évènements
\item Probabilité
\item Probabilités conditionnelles
\item Indépendance
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 24 : Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini}

\begin{enumerate}
\item Notion de variable aléatoire
\item Espérance d'une variable aléatoire réelle
\item Variance et écart-type
\item Lois usuelles
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 25 : Vecteurs aléatoires}

\begin{enumerate}
\item Couple de variables aléatoires
\item Indépendance de variables aléatoires
\item Covariance
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 26 : Espaces préhilbertiens réels}

\begin{enumerate}
\item Produit scalaire
\item Orthogonalité
\item Bases orthogonales, bases orthonormées (ou orthonormales)
\item Projection orthogonale, distance à un sous-espace de dimension finie
\item Hyperplans d'un espace euclidien
\item Produit mixte dans un espace euclidien
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 27 : Isométries et matrices orthogonales}

\begin{enumerate}
\item Isométries vectorielles
\item Matrices orthogonales
\item Isométries vectorielles en dimension 2
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 28 : Séries numériques}

\begin{enumerate}
\item Généralités
\item Séries à termes positifs
\item Séries absolument convergentes
\item Représentation décimale des réels
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 29 : Intégration sur un segment}

\begin{enumerate}
\item Intégration des fonctions en escalier
\item Fonctions uniformément continues
\item Fonctions continues par morceaux
\item Intégrale d'une fonction continue par morceaux
\item Sommes de Riemann
\item Brève extension aux fonctions à valeurs complexes
\end{enumerate}

\paragraph{Chap 30 : Intégration et dérivation}

\begin{enumerate}
\item Primitives et intégrales
\item Formules de Taylor
\item Retour sur les développements limités
\item Brève extension aux fonctions à valeurs complexes
\item Calcul de primitives
\end{enumerate}



\end{document}